Harezmi'nin Matematiğe Katkıları

               Trigonometri, üçgenlerin açıları ve kenarları arasında bağlantı kurarak formüller oluşturan matematik dalıdır. Bu dal günümüzde matematik, fizik ve mühendislik alanında sıklıkla kullanılmaktadır. Trigonometri dalı astronomiden ortaya çıkmış bir daldır. Trigonometrinin tarihi çok eskilere, Eski Mısırlılar ve Babiller dönemine uzanmaktadır. İlk başlarda Eski Yunanlar Menelaos’un küresel geometrisi sayesinde bir dairenin içine çizilen bir dörtgen aracılığıyla daire yaylarının kirişlerinin değerlerini veren çizgiler oluşturabilmekteydi. Bundan sonra Araplar yay kirişi yerine sinüs koyup tanjant, kotanjant, sekant, kosekant gibi kavramları oluşturmuşlardır.     Bir dik üçgen hayal edecek olursak bu üçgenin dik kenarının karşısındaki en uzun kenarının adı hipotenüstür. Dik açı olmayan bir açı seçilirse, bu seçilen açının karşısında olan açıya karşı kenar, diğer açının karşısında olan açıya komşu kenar adı verilir. Örnekteki...

  6’ya bölünme kuralı,  sayının hem 2’ye hem de 3’e kalansız bölünebilmesidir.   İspatına gelecek olursak:  A'nın 2'ye ve 3'e kalansız bölünebilen bir tam sayı olduğunu varsayalım. A, 3'e kalansiz bölünebiliyorsa, x bir tam sayı olmak üzere, A’yı (1) A = 3x şeklinde yazabiliriz. A’nın 2'ye kalansız bölünebildiğini bildiğimize göre çift olması gerekmektedir. Bu sebeple 3x’in de çift olması gereklidir. İki tam sayının çarpımının sonucunun çift olabilmesi için bu tam sayılardan en az bir tanesinin çift olması gerekmektedir. 3’ün tek olması sebebiyle x çift bir sayıdır. x’in çift olması durumunda y bir tam sayı olmak şartıyla (2) x= 2y şeklinde yazılabilir. (2). ifadedeki sonucu (1)'de yerine yazarsak A= 3x = 3(2y) = 6y eşitliğini elde ederiz. y’nin bir tam sayı olması sebebiyle A'nın çarpanlarından birinin 6 olduğu sonucuna ulaşabilirz. Bu nedenle, A sayısı 6'ya tam bölünebilir.     8’e bölünme kuralı,  sayının son üç basamağındaki sayının 8’e tam bölüneb...

  Bölünebilme kuralları, bir sayıyı hangi sayıların bölebileceğini ve bir sayının bir sayıya bölünebilmesi için hangi şartları karşılaması gerektiğini açıklar.     2 ile bölünebilme kuralı , sayının birler basamağındaki rakamların 0, 2, 4, 6, 8 olmasıdır. İspatına gelecek olursak: Öncelikle herhangi bir sayıyı çözümlemekle başlayalım. Örneğin bu sayı abcd…ft olduğunu varsayalım. 10 n a+10 n-1 b+...10 1 f+t. 10 sayısının bütün kuvvetleri 2’ ye bölünebileceği için birler basamağındaki t rakamına bakılır. t rakamı 2’ye bölünebilen bir rakam, yani 0, 2, 4, 6 ya da 8 olması gerekir. Başka bir şekilde ifade etmek gerekirse çift sayıların 2’ye bölünebildiğini söyleyebiliriz.      3 ile bölünebilme kuralı , sayının rakamlarının toplamının 3’ün katı olan bir sayı olmasıdır.  İspatına gelecek olursak: 10’un bütün kuvvetlerinden 1 çıkartırsak bu sayılar 10’un kuvvetinin sayısı kadar 9 oluşturacaktır. Bir sayıyı abcd…ft şeklinde yazarsak bunu (9...9.a)+a+(9...9.b)...

    Faktöriyeller matematikte bir sayının yanına ünlüm koyarak gösterilir. Bu gösterimin anlamı o sayının 1’den o sayıysa kadar olan sayılar ile çarpılmasıdır. Yani n pozitif bir sayı olmak üzere n! = 1 * 2 * 3* … (n - 1) * n olarak hesaplanır. Örnek olarak 4 sayısının faktöriyeli şu şekilde hesaplanır: 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 olarak hesaplanır. Önemli bir nokta olarak 0! = 1’dir. Faktöriyellerle işleme geçilecek olursa, bölme işlemi en kolayı denilebilir. Örnek olarak:   6! / 5! = (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1)  Bu durumda 6 dışındaki sayılar birbiri ile sadeleşir ve cevap altı çıkar. Aynı şekilde: 10! / 7! = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 *4 * 3 * 2 * 1) / (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)  Burada da sadeleşme olur ve 7’ye kadar olan sayılar birbiri ile sadeleşir. Geriye 10 * 9 kalır. Bu sebeple 10! / 8! = 90’ye eşittir. Bu işlem şu şekilde de yazılabilir: 10 * 9 * 8! / 8! = 90. Buradan anlaşılıyor ki n! aynı zamanda n * (n - 1)’e eşittir. ...

Standart sapma, istatistik ve olasılık kuramı bilim dallarında kullanılan ve veri değerlerinin yayılımının özetlenmek için kullanılan bir ölçüdür. İstatistikte veri analizi ölçüleri ikiye ayrılır: Merkezi eğilim ve merkezi dağılım. Merkezi eğilimde aritmetik ortalama, ortanca değer (medyan) ve tepe değer (mod) bulunur iken merkezi dağılımda açıklık, çeyrekler açıklığı ve standart sapma bulunur. Merkezi eğilimde merkezin nerede olduğunu bulmaya yönelik işlemler yapılır. Merkezi dağılımda ise verilerin nasıl dağıldığı bulunmaya çalışır. Standart sapma ile verilerin tutarlı olup olmadığı hesaplanır.  Standart sapma hesaplanırken önce aritmetik ortalama hesaplanır. Standart sapma, antik Yunancadaki küçük sigma (σ) harfiyle gösterilir. Yani elimizdeki verilerin hepsi toplanır ve veri sayısına bölünür (X 1  + X 2  + X 3  + X n  / n). Aritmetik ortalama hesaplandıktan sonra bütün verilerden aritmetik ortalama çıkartılır. Çıkan sonuçların kareleri alınır. Bu s...

  Asal sayılar 1’den büyük, 1 ve kendisinden başka sayıya bölünemeyen pozitif tam sayılardır. Asal olmayan sayıların en az bir tane asal böleni olması gerekir. 2 dışında bütün asal sayılar tek sayıdır. Örneğin 15 sayısı asal değildir çünkü 3 ve 5 sayılarına bölünebilir.     Asal sayıların sonsuzluğunun pek çok ispatı vardır. Bunlardan en yaygını İskenderiyeli matematikçi Euclid’in (Öklid) ispatıdır. Euclid ispatında çelişki yöntemini kullanarak asal sayıların sonsuzluğunu kanıtlamıştır. Euclid yaklaşık MÖ 300 yıllarında yazdığı kitabında asal sayıların sonsuzluğunu şu şekilde kanıtlamıştır:   Asal sayıların sonlu olduğunu varsayarak; bunların sayısı n, gösterişleri de p(1), p(2), p(3)…p(n) olsun. Bu durumda p(1)= 2, p(2)= 3, p(3)= 5… olur. Tüm asal sayıları çarpıp, bu çarpıma 1 eklediğimizde oluşan sayıya K diyelim: K =[p(1)*p(2)*p(3)…p(n)] +1.  K sayısı asal olsaydı p(1), p(2), p(3)…p(n) asallarından farklı olurdu çünkü hepsinden büyüktür. Bu da bize n’den...