Pisagor Teoremi

      Pisagor Teoremi, ya da başka bir şekilde söylemek gerekirse Pisagor Bağıntısı, MÖ 570- MÖ 495 yılları arasında yaşamış ünlü Yunan filozof ve matematikçi olan Pisagor’un bulduğu üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kuran ilk teoremlerden biridir. Pisagor  teoremine göre bir dik üçgenin iki dik kenarının uzunluklarının karelerinin toplamı, üçüncü ve dik üçgenin en uzun kenarı olan hipotenüsün karesine eşittir. 

     Bu teoremin ispatlarına gelecek olursak birden fazla ispat yöntemi olduğunu söyleyebiliriz. 

1)  

Bir kenarının uzunluğu a+b olan kare çizilir. Ardından karenin kenarlarındaki a ve b uzunluklarının birleşim yerlerinden 4 tane çizgi çizilir. Ortaya çıkan 4 üçgenin alfa ve beta açıları gösterilir. A ve b kenarlarının kesiştiği yerler karenin iç açıları olduğu için 90° olur. Buradan alfa + beta =90° olduğunu buluruz. Yani içeride oluşan şeklin dört köşesi de 90 derecedir. Özdeş dik üçgenlerin hipotenüsüne c dediğimiz için içeride oluşan şekilin c2 alanlı bir kare olduğunu göstermiş oluruz. Şimdi büyük karenin alanına bakalım: bir kenar uzunluğu a+b olduğundan alanı (a+ b)2 dır. Yani Pisagor teorimine göre a+b kenarlı büyük karenin alnından içerideki dik üçgenlerin alanlarını çıkarırsak ulaşmamız gerekir. Bir dik üçgenin alanı a.b/2, dört dik üçgen ise 4(a.b/2)’dir. Yani işlemimiz (a2+b2) - 4(a.b/2)= c2‘dir. İşlemi sadeleştirirsek a2+b2 +2ab-2ab= a2+b2 = c2 olduğunu göstererek Pisagor teoreminin doğruluğunu ispatlamış oluruz.

2)

Bu ispat yönteminde bir kenarı c olan kare çizilir. İçerisine dört özdeş dik üçgen çizilir, alfa ve beta açıları gösterilir. Dik kenarlardan kısa olana a, uzun olana b dersek ortada oluşan şeklin bir kenarı b-a olan bir kare olduğunu görebiliriz. Bu karenin alanı (b-a)2‘dir. Büyük karenin alanı da c2‘dir. Bir dik üçgenin alanı a.b/2, dört üçgenin alanı 4(a.b/2)’dir. Şimdi ispat kısmına geçelim: c2 = (b-a)2 + 2ab

c2 = a2+b2-2ab+2ab

c2 =a2+b2

şeklinde ispatlamış oluruz.

Bu ispatlar dışında da birçok ispat yöntemi bulunmaktadır ancak bence bunlar herkes tarafından rahatça anlaşılabilen ispatlardır. Bunun dışında benzer üçgenler kullanılarak, alan yöntemi gibi sayısız şekilde ispatı yapılabilir.