Sıfırın Tanımsız ve Belirsiz Olma Durumu


     Herhangi bir sayının 0'a bölümü kaçtır? Neden 0 kendine bölünemez? 0'ın 0'a bölümü 1 midir? 00 neden belirsizdir? Bu soruların hepsinin bir cevabı var. Bir sürü matematikçi sıfırın gizemi üzerine çeşitli araştırmalar yapmış, tezler hazırlamıştır. 0'ın matematikteki karşılığının yokluk olduğu söylenmesine karşın toplama-çıkarma işleminde etkisiz, çarpma işleminde yutan eleman olarak karşımıza çıkması ve ondalık sayıların yanına gelerek onları büyütme ve küçültme özelliğine sahip olması sebebiyle her zaman kafaları karıştıran bir konu olmuştur. 

     Bir sayının 0'a bölümü ile ilgili iki popüler görüş ve tahmin var: x, 0'dan farklı bir reel sayı olmak üzere x/0'ın sonsuz olması ve tanımsız olması. Ancak yapılan uzun çalışmalar sonucu x/0 işleminin sonsuz değil tanımsız olduğu ispatlanmıştır. Bu işlemin sonucu pozitif sonsuza da negatif sonsuz olabilir. İki sonsuz da bir reel sayı belirtmediği için x/0 tanımsızdır. Bir örnek vererek somutlaştıracak olursak x/0=A olsun. Buna göre x= 0.A olacaktır. Bu eşitlikte A sayısının tanımı, "0 ile çarpıldığında 0'dan farklı x değerini verecek sayı"dır. 0 ile hangi sayıyı çarparsak çarpalım sonuç 0 çıkacağı için bu tanıma uyan bir x değeri yoktur. Bir de başka bir yaklaşıma bu durumu kanıtlayalım. 10'u 5'e bölmeyi deneyelim. Bu işlemin cevabı 2'dir. 10'u daha küçük bir sayı olan 2'ye bölersek daha büyük bir sonuç olan 5'i elde ederiz. Aynı şekilde 10'u 1'e böldüğümüzü düşünelim. Yine sonuç büyür. Yani bir sayıyı ne zaman daha küçük bir sayıya bölersek daha büyük bir sonuç elde ederiz. Bu yüzden bir sayı 0'a bölünürse pozitif ve negatif sonsuzluk ortaya çıkar ve sonuç tanımsız olur.  Dolayısıyla bu yöntemden de x/0'ın tanımsız olduğu kanıtlanmış olur.  

     0'ın kendine bölünmesi sonucu neye eşittir? Normalde bir sayının kendine bölümü ile 1 elde edilir. Mesela 79/79= 1, -3668/3668= 1, 3/3 =1... Bu mantıkla ilerlenirse 0/0'ın da 1'e eşit olması beklenir. Fakat bu doğru değildir. Düşünün: olmayan bir şeyi yine olmayan bir şeye, yani yokluğa bölersek nasıl bir varlık elde edebiliriz ki? Bu sebeple 0/0 belirsiz olarak adlandırılır. Bu işlemin ispatına gelelim: 0/0 = A olsun. Buradan 0= 0.A elde edilir. Bu da 0=0 eşitliğine denktir. Bu eşitlik bütün A değerlerini sağlar. A'nın tanımı vardır fakat belli değildir. Başka bir deyişle 0 ile çarpımı 0'ı veren sayı vardır ama belirsizdir. Mesela A sayısı 3, 1, -10, π gibi değerler olması durumlarında   her şekilde bu eşitliği sağlar. Yani A değeri belirsiz olduğu için 0/0 belirsiz olur. 

     Benzer şekilde 00 da belirsizdir. Bunun açıklamasını da şu şekilde yapabiliriz: Üslü sayılarda herhangi bir sayının 0'ıncı kuvvetinin 1'dir, bu sebeple 00'ın da 1 olmasını bekleriz. Ancak diğer yandan 0'ın kuvvetlerinin 0 olduğunu söyleriz. Bu açıdan bakarsak da 00'ın 0 olması gerekir. Bu şekilde için iki farklı sonuç bulundu. Hangisinin doğru olduğu belirlenemediği için 0'ın 0'ıncı kuvveti belirsiz kabul edilir.

     

Yorumlar

Yorum Gönder

Bu blogdaki popüler yayınlar

Bölünebilme Kuralları İspatı: 6, 8, 9 ve 11

  6’ya bölünme kuralı,  sayının hem 2’ye hem de 3’e kalansız bölünebilmesidir.   İspatına gelecek olursak:  A'nın 2'ye ve 3'e kalansız bölünebilen bir tam sayı olduğunu varsayalım. A, 3'e kalansiz bölünebiliyorsa, x bir tam sayı olmak üzere, A’yı (1) A = 3x şeklinde yazabiliriz. A’nın 2'ye kalansız bölünebildiğini bildiğimize göre çift olması gerekmektedir. Bu sebeple 3x’in de çift olması gereklidir. İki tam sayının çarpımının sonucunun çift olabilmesi için bu tam sayılardan en az bir tanesinin çift olması gerekmektedir. 3’ün tek olması sebebiyle x çift bir sayıdır. x’in çift olması durumunda y bir tam sayı olmak şartıyla (2) x= 2y şeklinde yazılabilir. (2). ifadedeki sonucu (1)'de yerine yazarsak A= 3x = 3(2y) = 6y eşitliğini elde ederiz. y’nin bir tam sayı olması sebebiyle A'nın çarpanlarından birinin 6 olduğu sonucuna ulaşabilirz. Bu nedenle, A sayısı 6'ya tam bölünebilir.     8’e bölünme kuralı,  sayının son üç basamağındaki sayının 8’e tam bölüneb...
Devamı

Tanjant, Kosekant, Sekant ve Kotanjant Fonksiyonları

Resim
               Tanjant fonksiyonuna gelecek olursak bunu da bir açı seçip bu seçilen açının karşısındaki kenarı komşu açısının karşısındaki kenara oranlayarak bulabiliriz. Başka bir deyişle bir açının karşısındaki kenarı komşusu olan kenara bölmek olarak ifade edebiliriz. Aşağıdaki dik üçgenleri kullanarak örnek verecek olursak   a   açısının seçildiği bir durumda tanjantı bulabilmek için b kenarını c kenarına böleriz. Bir   a   açısının tanjantı tan a     şeklinde gösterilir. Bu ifadeyi formüle şu şekilde formüle dökebiliriz:       Sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının dışında kosekant, sekant ve kotanjant fonksiyonları da bulunmaktadır. Bu fonksiyonlar sinüs, kosinüs ve tanjant işlevlerinin çarpma işlemine göre tersidir. Bütün bu fonksiyonlar geometriyi kolaylaştırmaktadır ve bir üçgenin bilinmeyen kenar ya da açılarını hesaplamayı sağlamaktadır. Diğer çokgenler de üçgenlerin birleşiminden o...
Devamı

Harezmi'nin Matematiğe Katkıları

                     Harezmi, 780 yılında ismini aldığı Harezm bölgesinin Hive şehrinde dünyaya gelmiş olan dünyaca ünlü bir İslam matematikçisidir. Eserleri ve buluşları batı dünyasını da aydınlatmış ve bu alanlarda ilerlemesine  katkıda bulunmuştur. Büyük bir  matematikçi olmanın yanında coğrafya, gökbilim, algoritma gibi alanlarda da çalışmıştır. Hayatı ile ilgili detaylı bilgi bulunmasa da ç alışmalarına Abbasi halifesi Mem'un tarafından Bağdat Saray Kütüphanesine getirilmesiyle başlamıştır. Daha sonra burada yabancı eserlerin tercümesini yapmak amacıyla kurulan bir tercüme akademisi olan Beyt'ül Hikme'de göreve başlamıştır.   Peki Harezmi'nin matematik tarihinin en büyük bilim insanlarından biri olmasının sebebi nedir?           "Cebir'in Babası" olarak bilinen Harezmi, algoritma ve cebirin kurucusudur.  Bunun yanında trigonometride yeniliğin temelini oluşturmuştur. Ay...
Devamı