Fermat'nın Son Teoremi
Modern sayılar kuramının kurucusu olarak kabul edilen Pierre de Fermat, 1601-1665 yılları arasında yaşamış Fransız hukukçu ve matematikçidir. Yaşamı boyunca ürettiği teoremlerle olasılık ve analitik geometriye katkıda bulunmuştur. Günümüzde hatırlanmasının en önemli sebebi olan Fermat’nın Son Teoremi’i, ilk olarak 17. yüzyılda öne sürülmüştür. Ancak bu teorem 1994 tarihine gelinene kadar birçok matematikçi, tarafından üstünde uğraşılmasına rağmen kanıtlanamamıştır. 1994 yılında İngiliz matematikçi Andrew Wiles ve eski bir öğrencisi olan Richard Taylor tarafından kanıtlanan teorem, aslında ortaokul matematik bilgileriyle anlaşılabilecek kadar sadedir. Fermat’nın yazdığı bir kitabın sonuna eklediği ve bunca yıl matematikçilerin kanıtlayamadığı bu denklem şuydu:
xn + yn = zn , n ≥ 3 için sağlanamaz. (x, y ve z birer pozitif tam sayıdır.)
Kitabın sonuna bu ifadeyi yazdıktan sonra kitabın sonuna normalde bu denklemi açıklayacağını ancak kitabında yer kalmadığını belirten bir not düşmüştür: “Teoremin harika bir ispatını buldum ancak sayfanın kenarında bunu yazmak için yeterli alan yok.” Yüzyıllar sonra Andrew Wiles bu teoremi ispatını bir üniversiteye göndermiştir ancak üniversite yaptığı ispatta bir hata olduğunu söyleyerek ispatını ona geri iade etmiştir. Andrew Wiles 1994 yılının sonuna doğru bu hatasını düzeltip bilim dünyasında kabul gören bu ispatını yayınlıyor. Bu ispat 100 sayfadan uzun (yaklaşık 130 sayfa) olduğu için Fermat’nın bu teoremi aslında ispatladığını düşünüp ispatlayamadığı ya da çok daha kısa bir yol bulduğu düşünülmektedir. Ancak Fermat’nın defterleri incelendiğinde bu ispatın bulunamaması ve bu teoremin ispatı için gereken teknikler 20. Yüzyılın ortalarına kadar bilinmemesi sebebiyle ilk ihtimalin daha olası olduğu düşünülmektedir.
n sayısının bir olması durumunda bu ifadenin gerçekleşebildiğini anlayabiliriz. n sayısı 2 olursa bu teorem Pisagor teoremi olur (x2 + y2 = z2). Fermat’nın Son Teoremi’nin (Fermat’nın Büyük Teoremi) çözümünün kilit noktası niteliğinde olan Taniyama-Shimura-Weil Sanısı, Japon matematikçiler Goro Shimura ve Yutaka Taniyama tarafından öne sürülmüştür. 1967 yılında André Weil yazılan bir yazı tarafından yazılan bir sanı sayesinde bu sanı Batı’da da tanınmaya başladı. Bu sanı, birbirinden farklı şeylermiş gibi düşünülen eliptik eğrilerin ve modüler formların aslında aynı şey olduğu, sadece farklı şekillerde gözüktüğünü söylemektedir. Taniyama-Shimura-Weil sanısının formal açıklaması her eliptik eğri için aynı Dirichlet-L serisine sahip bir modüler form olduğudur. Bu sanıdan bahsederken şu iki kavrama değinmek gerekiyor:
Eliptik Eğriler: y2 = x3 + ax + b şeklindeki eğriler eliptik eğriler olarak adlandırılırlar. Bu eğriler hiçbir zaman kendisini kesmez ve tekliği yoktur.
(Eliptik Eğriler) (Modüler Form)
Modüler Form: Kompleks düzlemin üst yarısında bulunan ve belirli şartları sağlayan kompleks analitik fonksiyonlara modüler form adı verilir. Modüler formlar, modüler grupların grup etkisine göre belirli fonksiyonel denklemleri sağlarlar.
1960'lı yıllarda Yves Hellegouarch birbirinden alakasız gözüken, denklemdeki (a, b, c) üçlüleri ile eliptik eğriler arasında bağlantı kurdu. y2=x(x-an)(x+bn) şeklinde bir eliptik eğri oluşturdu. Denklemdeki a, b ve n dereceden kuvvet bu eğride bulunuyordu. Gerhard Frey 1982-1985 yılları arasında bu eğrinin sıra dışı özelliklerine dikkat çekti ve bu eğri onun adı ile anılmaya başlandı. Frey eğrisi Fermat'ın son teoremi ile Taniyama-Shimura-Weil sanısını birbirine bağlıyordu. Bu problemden birinin kanıtlanması diğerinin de kanıtlanması anlamına geliyordu. Bunun üzerine ortaya epsilon sanısı çıktı. Epsilon sanısına göre Frey eğrileri modüler olamazdı. Epsilon sanısı Ken Ribet tarafından ispatlandı ve bu sanının adı Ribet Teoremi oldu. Taniyama-Shimura-Weil sanısına göre her eliptik eğri modüler olmalıydı. Eğer Taniyama-Shimura-Weil sanısı ispatlanırsa, Ribet tarafından modüler olamayacağı ispatlanan Frey'in eliptik eğrisi mevcut olamazdı. Yani böyle bir eliptik eğri yoksa, Fermat'ın son teoremini sağlayan a, b, c üçlüleri de olamazdı. Fermat'ın son teoreminin doğruluğunu kanıtlamanın yolu, Taniyama-Shimura-Weil sanısını kanıtlamaktan geçiyordu.
Kaynakça:
https://evrimagaci.org/zamana-meydan-okuyan-problem-fermatin-son-teoremi-7579
https://bilimgenc.tubitak.gov.tr/makale/fermatnin-son-teoremi-nedir
Yorumlar
Yorum Gönder